Imagen: T2 / R3 = k
La expresión teórica de k se conocerá en 1687 gracias a las ecuaciones de gravitación universal formuladas por Isaac Newton (1643 − 1727).
Tamaño relativo del sistema solar
A principios del siglo XVII, los científicos no tenían idea de las dimensiones del sistema solar. Sin embargo, gracias a las leyes de Johannes Kepler (1571-1630) conocemos las distancias relativas de los cinco planetas de la época en comparación con el Sol. En otras palabras, conocemos las distancias en una unidad desconocida, la distancia Tierra-Sol, pero no conocemos la distancia Tierra-Sol en km.
La tercera ley de Johannes Kepler, formulada en 1618, muestra la relación entre el semieje mayor de la órbita de un planeta y su período de rotación alrededor del Sol (tabla opuesta). El cubo del semieje mayor es igual al cuadrado del período de rotación (T2 / R3 = k) que sitúa la órbita de Mercurio en 0,39 AU (unidad astronómica creada mucho más tarde en 1958) y la de Saturno en 9,55 unidades astronómicas del Sol.
La medición de una sola distancia (planeta-Sol) dará la escala de todo el sistema y, por lo tanto, la distancia Tierra-Sol en km como lo esperaban los astrónomos.
N.B.: leyes de Kepler
la primera ley de Kepler, la "ley de las órbitas" (publicada en 1609 en Astronomia nova), estipula que todos los cuerpos en órbita describen trayectorias elípticas, de las cuales el Sol ocupa uno de los focos.
La segunda ley de Kepler, la "ley de áreas" (publicada en 1609 en Astronomia nova), establece que áreas iguales se escanean en tiempos iguales.
La tercera ley de Kepler "la ley de los períodos" (publicada en 1619 en Harmonices Mundi), establece que el cuadrado del período sideral de un planeta (tiempo entre dos pasajes sucesivos frente a una estrella) es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria elíptica del planeta.
En 1687, Isaac Newton descubrió la ley de la gravitación que le permitió explicar las tres leyes de Kepler.
Medición de la distancia Tierra-Marte
Imagen: Las mediciones de Cassini permitieron medir el ángulo α. Dos observadores se colocan en dos puntos suficientemente distantes de la Tierra (París y Cayenne, por ejemplo) y notan la configuración de las estrellas que rodean a la estrella observada. Por lo tanto, pueden medir los ángulos desde los puntos de observación y luego deducir el paralaje α (en radianes) y luego la distancia Tierra-Marte.
N.B.: la latitud es la posición norte o sur de un punto en la Tierra, es decir, es el ángulo con el plano ecuatorial (desde 0° en el ecuador hasta 90° en el polo norte y -90° en el polo sur).
N.B.: La longitud es la posición Este-Oeste de un punto en la Tierra, que corresponde a una diferencia de tiempo con el plano del meridiano de Greenwich (primer meridiano, 0° de longitud). Este cambio varía de +180° oeste a -180° este).
Por paradójico que parezca, fue midiendo la distancia Tierra-Marte que los astrónomos y matemáticos del siglo XVII pudieron hacerse una idea de las dimensiones del sistema solar.
En ese momento, la observación se resumía principalmente midiendo los ángulos de los objetos celestes vistos desde la Tierra. Entonces son los cálculos de trigonometría los que dan las distancias.
¿Cómo se calculó la distancia Tierra-Marte por primera vez?
En septiembre de 1672, Jean-Dominique Cassini (1625-1712), Jean Picard (1620-1682) y Jean Richer (1630-1696) miden la paralaje horizontal de Marte cuando este planeta pasó más cerca de la Tierra (Marte es entonces, visto desde la Tierra, frente al Sol). Para realizar esta medición es necesario observar las posiciones de Marte en relación a las estrellas mucho más distantes desde dos puntos muy distantes.
Cassini de París y Richer de Cayenne miden el paralaje de Marte. Esta medida relacionada con la base formada por el radio ecuatorial de la Tierra da un paralaje horizontal de p = 24" ⇒ Tierra-Marte = 54 746 000 km.
Para determinar la paralaje de Marte a partir de observaciones realizadas desde París y Cayena, es necesario conocer con la máxima precisión la diferencia entre las latitudes y la diferencia entre las longitudes de París y Cayena.
La latitud (ver nota) es fácil de medir, pero la longitud (ver nota) es mucho más difícil en ese momento. Cassini especifica sin embargo que midió la longitud por varios métodos para obtener un promedio:
- La observación de un eclipse cuyas diversas fases se identifican en horas del meridiano de París, en las colecciones astronómicas.
- La observación de eclipses de los satélites galileanos de Júpiter que ocurren varias veces al día.
- La observación de las alturas meridianas del Sol.
El conjunto da un promedio de 3 h 39 min ± 10 min.
Richer y Cassini, por tanto, observan el planeta Marte durante el mes de septiembre de 1672. Marte pasará cerca de una estrella de Acuario (Ψ Aquarii). En la imagen de al lado, el punto C corresponde a la latitud de C (Cayenne) y la longitud de P (París). Cassini utiliza dos observaciones simultáneas de Marte, una desde P y la otra desde C'. El ángulo de Paris Cayenne desde Marte es el ángulo α = 14 ". Pero el paralaje de Marte es el ángulo en el que Marte ve el radio de la Tierra. El cálculo de proporcionalidad entre el ángulo de Paris Cayenne y el paralaje de Marte da 24" ± 5"
Una vez conocida la paralaje de Marte, la trigonometría permite obtener la distancia Tierra-Marte (D) según el radio (R) de la Tierra:
D = R × 3600/24 × 180 / π es decir 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km
Cálculo de la distancia Tierra-Sol
Imagen: cálculo de distancias gracias a las órbitas de la Tierra y Marte
C = centro de la elipse que representa la órbita de Marte
Semieje mayor de la órbita de Marte = C → Mars
Excentricidad de la órbita de Marte = CS / CM = 0.093
CM = CS + ST + TM
CM = TM + ST / 1-CS
TM = 54 790 600 km
PT (período de la Tierra) = 1 año (365 días)
PM (período de Mars) = 1,88 año (686 días)
⇒ TS = TM / 1-CS(PM/PT)2/3 -1
1-CS(PM/PT)2/3 -1 = 0.38 o 3/8
⇒ TS = 54 790 600 x 8/3 = 150 000 000 km
¿Cuál es la distancia Tierra-Sol?
Tan pronto como se conoció la distancia Tierra-Marte, se pudo calcular la distancia Tierra-Sol utilizando la tercera ley de Kepler.
Cassini sabía que Marte estaba a 0,38 AU = 3/8 AU. Tierra-Sol = 8/3 x 8600 R = 23000 R ±5000 rayos terrestres.
Cassini nos da el valor del radio terrestre en leguas: R = 1500 leguas.
En ese momento había una gran cantidad de definiciones de la liga según la región.
Supongamos que el radio terrestre está dado en legua del abad Picard que desde 1671 es igual a 3707 metros.
R = 1500 x 3,707 = 5560.5 km desde donde:
Tierra-Sol = 127 891 500 km a ±27 802 500 km
Este notable resultado constituye la primera medición de la distancia Tierra-Sol.
Gracias a la tercera ley de Kepler, esta distancia dará la escala de todo el sistema solar T2/R3=k (tabla anterior).